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高中数学学习:函数值域的12种解法

作者:学习方法网点击量:1077
一。观察法
  
  通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。
  
  例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。
  
  点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。
  
  解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,
  
  故3+√(2-3x)≥3.
  
  ∴函数的知域为。
  
  点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。
  
  本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。
  
  练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})
  
  二。反函数法
  
  当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
  
  例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
  
  点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。
  
  解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。
  
  点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。
  
  练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})
  
  三。配方法
  
  当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
  
  例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
  
  点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求。
  
  解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]
  
  ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
  
  点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
  
  练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域。(答案:值域为{y∣y≤3})
  
  四。判别式法
  
  若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
  
  例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
  
  点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。
  
  解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)
  
  当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2
  
  当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2
  
  点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
  
  练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y≤-8或y>0)。
  
  五。值法
  
  对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的较值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的值,可得到函数y的值域。
  
  例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
  
  点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。
  
  解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
  
  ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。
  
  当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4.
  
  ∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。
  
  点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间,若存在值,也可通过求出值而获得函数的值域。
  
  练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 ()
  
  A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞)
  
  (答案:D)。
  
  六。图象法
  
  通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。
  
  例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
  
  点拨:根据值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。
  
  解:原函数化为 -2x+1(x≤1)
  
  y= 3 (-1
  
  2x-1(x>2)
  
  它的图象如图所示。
  
  显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。
  
  点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
  
  求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
  
  求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
法律法规
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中华人民共和国老年人权益保障法
医疗机构管理条例实施细则
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政策文件
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